Question

矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．
（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；
（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．

Answer

（1）设AM=x（0≤x≤4）则MD=4-x，根据正方形的性质就可以得出Rt△ANM≌Rt△DMF．根据正方形的面积就可以表示出解析式，由二次函数的性质就可以求出其最值；
（2）先将矩形纸片分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图，根据赵爽弦图的构图方法就可以拼成正方形．
【解析】
（1）正方形的最大面积是16．设AM=x（0≤x≤4），则MD=4-x．
∵四边形MNEF是正方形，
∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°．
∵∠AMN+∠ANM=90°，
∴∠ANM=∠FMD．
∵在△ANM和△DMF中
 ，
∴△ANM≌△DMF（AAS）．
∴DM=AN．
∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2，
=x2+（4-x）2，
=2（x-2）2+8
∵函数 S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，
对称轴是x=2，
在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，
∵0≤x≤4，
∴当x=0或x=4时，
正方形MNEF的面积最大．
最大值是16．

（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．