Question

如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E．且AB=，BD=2．求线段AE的长．

Answer

（1）如图，连接OD，要证明直线CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OD；
（2）首先，在直角△ADB中，利用勾股定理求得AD=1；
然后，利用相似三角形△AED∽△BAD的对应边成比例知=，则易求AE的长度．
（1）证明：如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°；
又∵OB=OD，
∴∠2=∠B，
而∠ADC=∠B，
∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵在直角△ADB中，AB=，BD=2，
∴根据勾股定理知，AD==1．
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°．
又∠ADB=90°，
∴△AED∽△BAD，
∴=，即=，
解得，AE=，即线段AE的长度是．