Question

如图，已知抛物线C经过原点，对称轴x=-3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON=3．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，抛物线C′与x轴的另一交点为A，B为抛物线C′上横坐标为2的点．
①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；
②过线段OA上的两点E，F分别作x轴的垂线，交折线O-B-A于点E₁，F₁，再分别以线段EE₁，FF₁为边作如图2所示的等边△EE₁E₂，等边△FF₁F₂．点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动．当△EE₁E₂与△FF₁F₂的某一边在同一直线上时，求时间t的值．

Answer

（1）先根据tan∠MON=3求出顶点M的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线C的解析式；
（2）①先求出△APD的面积关于点P横坐标的函数关系式，再应用配方法写成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值；
②分0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6三种情况讨论，每种情况又分EE1与FF1在同一直线上，EE2与F1F2在同一直线上和E1E2与FF2在同一直线上三种情况讨论．
【解析】
（1）∵对称轴MN的解析式为x=-3，∴ON=3，
∵tan∠MON=3，∴MN=9，
∴M（-3，-9），
∴设抛物线C的解析式为y=a（x+3）2-9，
∵抛物线C经过原点，∴0=a（0+3）2-9，解得a=1，
∴抛物线C的解析式为y=（x+3）2-9，即y=x2+6x；

（2）①∵将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，
∴抛物线C与抛物线C′关于原点O对称，
∴抛物线C′的解析式为y=-x2+6x，
∵当y=0时，x=0或6，
∴点A的坐标为（6，0），
∵点B在抛物线C′上，且其横坐标为2，
∴y=-22+6×2=8，即点B的坐标为（2，8）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，
解得．
∴直线AB的解析式为y=-2x+12，
∵点P在线段AB上，
∴设点P的坐标为（p，-2p+12），
∴S△APD=p（-2p+12）=-p2+6p=-（p-3）2+9，
∴当p=3时，△APD面积的最大值为9；
②如图，分别过点E2、F2作x轴的垂线，垂足分别为G、H．
根据（2）①知，直线OB解析式为y=4x，直线AB解析式为y=-2x+12．
当0＜t≤2时，E1在OB上，F1在AB上，
OE=t，EE1=4t，EG=2t，OG=t+2t，GE2=2t，
OF=6-t，FF1=2t，HF=t，OH=6-t-t，HF2=t，
∴E（t，0），E1（t，4t），E2（t+2t，2t），
F（6-t，0），F1（6-t，2t），F2（6-t-t，t）．
（Ⅰ）若EE1与FF1在同一直线上，由t=6-t，得t=3，不符合0＜t≤2；
（Ⅱ）若EE2与F1F2在同一直线上，易求得直线EE2的解析式为y=x-t，
将F1（6-t，2t）代入，得2t=×（6-t）-t，
解得t=；
（Ⅲ）若E1E2与FF2在同一直线上，易求得E1E2的解析式为y=-x+4t+t，
将F（6-t，0）代入，得0=-×（6-t）+4t+t，
解得t=；
当2＜t≤4时，E1，F1都在AB上，
OE=t，EE1=12-2t，EG=6-t，OG=6-t+t，GE2=6-t，
OF=6-t，FF1=2t，HF=t，OH=6-t-t，HF2=t，
∴E（t，0），E1（t，12-2t），E2（6-t+t，6-t），
F（6-t，0），F1（6-t，2t），F2（6-t-t，t）．
（Ⅰ）若EE1与FF1在同一直线上，由t=6-t，得t=3；
（Ⅱ）若EE2与F1F2在同一直线上，易求得直线EE2的解析式为y=x-t，
将F1（6-t，2t）代入，得2t=×（6-t）-t，
解得t=，不符合2＜t≤4；
（Ⅲ）E1E2与FF2已在0＜t≤2时同一直线上，故当2＜t≤4时，E1E2与FF2不可能在同一直线上；
当4＜t＜6时，由上面讨论的结果，△EE1E2与△FF1F2的某一边不可能在同一直线上．
综上所述，当△EE1E2有一边与△FF1F2的某一边在同一直线上时，t的值为或或3．