Question

在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

Answer

（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．
【解析】
（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴=，即可得：6x2=12，
解得：x=，
则CF=3，
在Rt△CFD中，DF==，
∴BC=2DF=2．