Question

如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．

Answer

（1）⊙0半径为R，则OD=OB=R，在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得出方程（R+3）2=（R+2）2+32，求出即可；
（2）证△FDG≌△OEG，推出∠FDG=∠OEG=90°，求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可．
（1）【解析】
设⊙0半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG2=OE2+EG2，
∴（R+3）2=（R+2）2+32，
R=2，
即⊙O半径是2．

（2）证明：∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中

∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．