Question

如图，已知抛物线y₁=-x²+4x和直线y₂=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂，若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．下列判断：
①当x＞2时，M=y₂；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．
其中正确的有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．
【解析】
∵当y1=y2时，即-x2+4x=2x时，
解得：x=0或x=2，
∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；
∴①错误；
∵抛物线y1=-x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正确；
∵抛物线y1=-x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；
当M=2，2x=2，x=1；
x＞2时，y2＞y1；
当M=2，-x2+4x=2，x1=2-，x2=2+（舍去），
∴使得M=2的x值是1或2-，
∴④错误；
故选B．