Question

如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．
（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值．
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．

Answer

（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面积公式就可以求出结论；
（2）由（1）的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据爽曲线的对称性就可以求出S△OCD=S△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；
（3）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．
【解析】
（1）∵A（m，0），B（0，n），
∴OA=m，OB=n．
∴S△AOB=．
∵m+n=20，
∴n=20-m，
∴S△AOB==m2+10m=-（m-10）2+50
∵a=-＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴m=10时，S最大=50；

（2）∵m=10，m+n=20，
∴n=10，
∴A（10，0），B（0，10），
设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
y=-x+10．
，
∴设S△OCD=8a．则S△OAC=a，
∴S△OBD=S△OAC=a，
∴S△AOB=10a，
∴10a=50，
∴a=5，
∴S△OAC=5，
∴OA•y=5，
∴y=1．
1=-x+10，
x=9
∴C（9，1），
∴1=，
∴k=9；

（3）∵C（9，1），
∴D（1，9）．
移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），
O′A=10-t，O′E=10．
∵C′D′∥CD，
∴△O′C′D′∽△O′CD，
∴，
∴
S=40•，
∴（0＜t＜10）．