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已知抛物线y=x2-2mx+3m2+2m. (1)若抛物线经过原点,求m的值及顶...

已知抛物线y=x2-2mx+3m2+2m.
(1)若抛物线经过原点,求m的值及顶点坐标,并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上;
(2)是否无论m取任何实数值,抛物线顶点一定不在第四象限?说明理由;当实数m变化时,列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式,并求出该函数的最小函数值.
(1)先根据二次函数的顶点坐标公式用m表示出其顶点坐标,由抛物线经过原点可求出m的值,进而得出其顶点坐标,再判断出其顶点坐标是否在y=x上即可; (2)分别根据当m>0时,m=0,m<0时顶点的纵坐标判断出函数图象顶点所在的象限即可,设顶点横坐标为m,纵坐标为n,则n=2m2+2m,再把此式化为顶点式的形式,进而可得出结论. 【解析】 ∵y=x2-2mx+3m2+2m=(x-m)2+2m2+2m, ∴抛物线顶点为(m,2m2+2m), (1)将(0,0)代入抛物线解析式中解得:m=0或m=, 当m=0时,顶点坐标为(0,0) 当m=时,顶点坐标为(,), ∵第三象限的平分线所在的直线为y=x, ∴(0,0)在该直线上,(,)不在该直线上; (2)∵抛物线顶点为(m,2m2+2m), ∴①当m>0时,2m2+2m>0,此时抛物线顶点在第一象限; ②当m=0时,2m2+2m=0,此时抛物线的顶点在原点; ③当m<0时,若2m2+2m>0,则顶点坐标在第二象限;若2m2+2m<0,则顶点坐标在第三象限, ∴m无论为何值抛物线的顶点一定不在第四象限; 设顶点横坐标为m,纵坐标为n,则n=2m2+2m, ∵n=2m2+2m=2(m+)2- ∴当m=-时,n有最小值-.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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