Question

如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO•AP=OB²．其中正确的序号是    ．（把你认为正确的序号都填上）

Answer

设AD=x，AB=2x，根据矩形的性质得出AD=BC=x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，求出DE=CE=x，CP=x，BP=x，根据tan∠CEP=，tan∠EBC=，求出∠CEP=30°，∠EBC=30°，∠CEB=60°，即可判断①；证出∠F=∠EBP和∠PEB=∠PEB，即可推出△EBP∽△EFB，判断②即可；证△ECP∽△FBP和△ABP≌△FBP，即可判断③，证出△AOB∽△BOP，得出=，推出OB2=AO•OP，即可判断④．
【解析】
设AD=x，AB=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，
∵E为CD中点，
∴DE=CE=x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=x，BP=x，
∵tan∠CEP===，tan∠EBC===，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∵∠C=90°，
∴∠CEB=60°，
∴∠BEP=30°=∠CEP，
即EP平分∠CEB，∴①正确；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∵∠EBP=30°，
∴∠F=∠EBP，
∵∠PEB=∠PEB，
∴△EBP∽△EFB，∴②正确；
∵DC∥AB，
∴△ECP∽△FBP，
∴==，
∴EC=BF，
∵E为CD中点，
AB=CD，
∴EC=CD=AB，
∴AB=BF，
在△ABP和△FBP中
，
∴△ABP≌△FBP，
∵△ECP∽△FBP，
∴△ABP∽△ECP，∴③正确；
∵△ABP≌△FBP，
∴∠PAB=∠F=∠CEP=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠APB=60°，
∵∠EBC=30°，
∴∠AOB=30°+60°=90°=∠POB，
∵∠PAB=∠PBO=30°，
∴△AOB∽△BOP，
∴=，
∴OB2=AO•OP，∴AO•AP=OB2不对，∴④错误；
故答案为：①②③．