Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．
（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．

Answer

（1）首先利用勾股定理求出AB的长，再利用在Rt△AOH 中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=（4-m）2，求出m的值，进而得出O，A，B的坐标，再利用交点式求出抛物线解析式即可；
（2）首先求出AB解析式，表示出P，M坐标，进而得出关于PM的解析式，即可得出二次函数最值；
（3）①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．
②当AO为平行四边形的边时，分别得出E点坐标即可．
【解析】
（1）在Rt△ABC 中，
∵BC=3，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=（4-m）2，得 m=．
∴OC=，OA=AC-OC=，
∴O（0，0）A（，0），B（-，3）．
设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x-）=．
即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：

解之得：，
∴直线AB的解析式为y=．
设动点P（t，），则M（t，）．
∴d=（）-（）=-=
∴当t=时，d有最大值，最大值为2．

（3）设抛物线y=的顶点为D．
∵y==，
∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，-）．
根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．
①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．
这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．
②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，
分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点
E（，）或E（-，）．
所以在抛物线上存在三个点：E1（，-），E2（，），E3（-，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．