Question

等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中点为圆心作与两腰相切的圆，过圆上一点F作切线交AB、AC于D、E，则BD•CE的值是（ ）

A．4
B．8
C．12
D．缺条件，不能求

Answer

根据切线的性质得出：∠2=∠3，∠4=∠5，进而得出Rt△BON≌Rt△COM，得出∠1=∠6，求出∠7=∠5+∠6=∠EOC，进而即可得出△BOD∽△CEO，利用相似三角形的性质得出BD•EC=BO•CO=4即可．
【解析】
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中点为圆心作与两腰相切的圆
∴∠ABC=∠ACB，BO=CO=2，
设⊙O与AB，AC分别相切于点N，M，过圆上一点F作切线交AB、AC于D、E，
连接ON，OM，FO，
故∠OND=∠OFD=∠OMC=90°，DN=DF，EF=EM，∠FDO=∠NDO，
可得：∠2=∠3，同理可得出：∠4=∠5，
在Rt△BON和Rt△COM中，
∵，
∴Rt△BON≌Rt△COM（HL），
∴∠1=∠6，
∴∠1+∠3+∠4=∠2+∠5+∠6=90°，
∵∠7=90°-∠2，
∴∠7=∠5+∠6=∠EOC，
又∵∠B=∠C，
∴△BOD∽△CEO，
∴=，
∴BD•EC=BO•CO=4．
故选：A．