Question

如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S₁，S₂，S₃，S₄，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是S_n=    ．

Answer

由∠AOB=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n个黑色梯形的上下底，利用梯形的面积公式即可表示出第n个黑色梯形的面积．
【解析】
∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
从图中可以看出，黑色梯形的高都是2，
第一个黑色梯形的上底为：1，下底为：3，
第2个黑色梯形的上底为：5=1+4，下底为：7=1+4+2，
第3个黑色梯形的上底为：9=1+2×4，下底为：11=1+2×4+2，
则第n个黑色梯形的上底为：1+（n-1）×4，下底为：1+（n-1）×4+2，
故第n个黑色梯形的面积为：×2×[1+（n-1）×4+1+（n-1）×4+2]=8n-4．
故答案为：8n-4．