Question

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．

Answer

（1）连接OB、OP，由，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；
（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，则OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
（1）证明：连接OB、OP，如图，
∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直线PB是⊙O的切线；

（2）【解析】
由（1）知∠BCO=∠POA，
设PB=a，则BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD==2a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=×2a=a，
∴OA=a，
∴OP===a，
∴cos∠BCA=cos∠POA==．