Question

如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；
（2）分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．
（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠BAC，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O切线；

（2）【解析】
连接OD，过O作OM⊥BD于M，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB=BD=OD=2，
∴BM=DM=1，
由勾股定理得：OM=，
∴阴影部分的面积S=S扇形DOB-S△DOB=-×2×=π-．