Question

如图，在平面坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证：△AOF∽△BEO；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S₁，△OEF的面积为S₂．试探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论；
（2）根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论；
（3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值．
【解析】
（1）∵直线y=-x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2），
当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°
∴∠OAB=45°；

（2）∵四边形OMPN是矩形，
∴PM∥ON，NP∥OM，
∴，，
∴BE=OM，AF=ON，
∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON．
∵矩形PMON的面积为2，
∴OM•ON=2
∴BE•AF=4．
∵OA=OB=2，
∴OA•OB=4，
∴BE•AF=OA•OB，
即．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∵四边形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形．
∵E点的横坐标为a，E（a，2-a），
∴AM=EM=2-a，
∴AE2=2（2-a）2=2a2-8a+8．
∵F的纵坐标为b，F（2-b，b）
∴BN=FN=2-b，
∴BF2=2（2-b）2=2b2-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF2=2（a+b-2）2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16
∴EF2=AE2+BF2．
∴线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆的面积为
S1=EF2=•2（a+b-2）2=（a+b-2）2．
∵S梯形OMPF=（PF+ON）•PM，S△PEF=PF•PE，S△OME=OM•EM，
∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME，
=（PF+ON）•PM-PF•PE-OM•EM，
=[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]，
=（PF•EM+OM•PE），
=PE（EM+OM），
=（a+b-2）（2-a+a），
=a+b-2．
∴S1+S2=（a+b-2）2+a+b-2．
设m=a+b-2，则S1+S2=m2+m=（m+）2-，
∵面积不可能为负数，
∴当m＞-时，S1+S2随m的增大而增大．
当m最小时，S1+S2最小．
∵m=a+b-2=a+-2=（-）2+2-2，
∴当=，即a=b=时，m最小，最小值为2-2
∴S1+S2的最小值=（2-2）2+2-2，
=2（3-2）π+2-2．