Question

问题：如图，要在一个矩形木板ABCD上切割、拼接出一个圆形桌面，可在该木板上切割出半径相等的半圆形O₁和半圆形O₂，其中O₁、O₂分别是AD、BC上的点，半圆O₁分别与AB、BD 相切，半圆O₂分别与CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最终拼接成的圆形桌面的半径（用含a、b的代数式表示）．
（1）请解决该问题；
（2）①下面方框中是小明简要的解答过程：

解得x=．
所以最终拼接成的圆形桌面的半径为m．
老师说：“小明的解答是错误的！”请指出小明错误的原因．
②要使①中小明解得的答案是正确的，a、b需要满足什么数量关系？

Answer

（1）设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，根据∠C=90°，得出O2E=O2C，DC=DE=a，最后根据O2B2=BE2+O2E2，得出（b-EO2）2=（-a）2+O2E2，求出EO2即可，
（2）①小明的错误是“O1O2=2x”，②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切即可
【解析】
（1）如图，设半圆O2与BD 的切点为E，连接O2E，则O2E⊥BD，
∵半圆O2与CD 相切，且∠C=90°，
∴O2E=O2C，DC=DE=a．
在Rt△BEO2中，O2B2=BE2+O2E2，
∴（b-EO2）2=（-a）2+O2E2，
解得EO2=，
∴最终拼接成的圆形桌面的半径为=m；

（2）①小明的错误是半圆O1与半圆O2不能保证外切，即“O1O2=2x”是错误的，
②要使小明解得的答案是正确的，就要半圆O1与半圆O2外切．
此时半圆O1与BD 的切点、半圆O2与BD的切点以及O1O2与BD的交点重合．
所以-a=a，
解得b=a．