Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-4经过A（-8，0），B（2，0）两点，直线x=-4交x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点E在直线x=-4上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是d₁，d₂，d₃，问是否存在直线l，使d₁=d₂=？若存在，请直接写出d₃的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）平行四边形可能有多种情形，如答图1所述，需要分类讨论：
①以AO为一边的平行四边形，有2个；
②以AO为对角线的平行四边形，有1个，此时点P和点E必关于点C成中心对称．
（3）存在4条符合条件的直线，分别如答图2、答图3所示．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx-4经过A（-8，0），B（2，0）两点，
∴，
解得：
∴； 

（2）∵点P在抛物线上，点E在直线x=-4上，
设点P的坐标为（m，，点E的坐标为（-4，n）．

如图1，∵点A（-8，0），
∴AO=8．
①当AO为一边时，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m1=-12，m2=4．
∴P1（-12，14），P2（4，6）（5分）
②当AO为对角线时，则点P和点E必关于点C成中心对称，故CE=CP．
∴，
解得：，
∴P3 （-4，-6）．
∴当P1（-12，14），P2（4，6），P3 （-4，-6）时，A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形．

（3）存在．
如图2所示，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H．

由题意得C（-4，0），B（2，0），D（-4，-6），
∴OC=4，OB=2，CD=6，∴△CDB为等腰直角三角形．
∴CH=CD•sin45°=6×=．
∵BD=2CH，∴BD=．
①∵CO：OB=2：1，∴过点O且平行于BD的直线l1满足条件．
作BE⊥直线l1于点E，DF⊥直线l1于点F，设CH交直线l1于点G．
∴BE=DF，即：d1=d2．
则，，即，∴d3=2d1，∴d1=d2=．
∴CG=CH，即d3=×=；
②如图2，在△CDB外作直线l2∥DB，延长CH交l2于点G′，使CH=HG′，
∴d3=CG′=2CH=；
③如图3，过H，O作直线l3，作BE⊥l3于点E，DF⊥l3于点F，CG⊥l3于点G．

由①可知，DH=BH，则BE=DF，即：d1=d2．
∵CO：OB=2：1，∴d1=d2=．
作HI⊥x轴于点I，
∴HI=CI=CB=3，∴OI=4-3=1，
∴OH===．
∵△OCH的面积=×4×3=×d3，∴d3=；
④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线l4，易证：
d1=d2=，d3=．
综上所述，存在直线l，使d1=d2=．d3的值为：，，．