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如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点...

如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连接EF.
(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)在图1中,过点A作AM⊥EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系;
(3)如图2,将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,∠EAF=manfen5.com 满分网∠BAD,连接EF,过点A作AM⊥EF于点M,试猜想AM与AB之间的数量关系.并证明你的猜想.
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(1)延长CB到Q,使BQ=DF,连接AQ,根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB,∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°,证△ADF≌△ABQ,推出AQ=AF,∠QAB=∠DAF,求出∠EAQ=∠F,证△EAQ≌△EAF, 推出EF=BQ即可; (2)根据△EAQ≌△EAF,EF=BQ得出×BQ×AB=×FE×AM,求出即可; (3)延长CB到Q,使BQ=DF,连接AQ,根据折叠和已知得出AD=AB,∠D=∠DAB=∠ABE=90°,∠BAC=∠DAC=∠BAD,证△ADF≌△ABQ,推出AQ=AF,∠QAB=∠DAF,求出∠EAQ=∠FAE,证△EAQ≌△EAF,推出EF=BQ即可. (1)EF=BE+DF, 证明:如答图1,延长CB到Q,使BQ=DF,连接AQ, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°, 在△ADF和△ABQ中 , ∴△ADF≌△ABQ(SAS), ∴AQ=AF,∠QAB=∠DAF, ∵∠DAB=90°,∠FAE=45°, ∴∠DAF+∠BAE=45°, ∴∠BAE+∠BAQ=45°, 即∠EAQ=∠FAE, 在△EAQ和△EAF中 ∴△EAQ≌△EAF, ∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF. (2)【解析】 AM=AB, 理由是:∵△EAQ≌△EAF,EF=BQ, ∴×BQ×AB=×FE×AM, ∴AM=AB. (3)AM=AB, 证明:如答图2,延长CB到Q,使BQ=DF,连接AQ, ∵折叠后B和D重合, ∴AD=AB,∠D=∠DAB=∠ABE=90°,∠BAC=∠DAC=∠BAD, 在△ADF和△ABQ中 , ∴△ADF≌△ABQ(SAS), ∴AQ=AF,∠QAB=∠DAF, ∵∠FAE=∠BAD, ∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD, 即∠EAQ=∠FAE, 在△EAQ和△EAF中 ∴△EAQ≌△EAF, ∴EF=BQ, ∵△EAQ≌△EAF,EF=BQ, ∴×BQ×AB=×FE×AM, ∴AM=AB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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