Question

如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．

Answer

（1）连接OC．先由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，再由切线的性质得出OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO，等量代换后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到，求出AO=，即⊙O的半径为；解法二：如图2②，连接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例得到，求出AB=，则⊙O的半径为．
（1）证明：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；

（2）解法一：如图2①，过点O作OE⊥AC于E．
在Rt△ADC中，AD===3，
∵OE⊥AC，
∴AE=AC=．
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴，即，
∴AO=，即⊙O的半径为．
解法二：如图2②，连接BC．
在Rt△ADC中，AD===3．
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
即，
∴AB=，
∴=，
即⊙O的半径为．