Question

某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元．为了促销，决定凡是购买10件以上的，每多买一件，售价就降低0.10元（例如，某人买20件，于是每件降价0.10×（20-10）=1元，就可以按59元/件的价格购买），但是最低价为55元/件．同时，商店在出售中，还需支出税收等其他杂费1.6元/件．
（1）求顾客一次至少买多少件，才能以最低价购买？
（2）写出当一次出售x件时（x＞10），利润y（元）与出售量x（件）之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了47件，另一位顾客买了60件，结果发现卖了60件反而比卖了47件赚的钱少．为了使每次卖的越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价55元/件至少要提高到多少？为什么？

Answer

（1）设顾客一次至少购买x件，则超过了（x-10）件，每件就应该减少0.1（x-10）元，就可以建立等式为60-0.1（x-10）=55，求出其解就可以了；
（2）根据利润=（每件售价-每件进价）×数量建立等式就可以表示出y与x之间的函数关系式；
（3）先将y与x之间的关系变为顶点式，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的性质就可以求出最大利润的数量，从而可以确定最低售价．
解 （1）设顾客一次至少购买x件，由题意，得
60-0.1（x-10）=55，
解得：x=60；

（2）由题意，得
当10＜x≤60时，
y=[60-0.1（x-10）-50]x-1.6x
=-0.1x2+9.4x；
当x＞60时，
y=（55-50-1.6）x=3.4x．

（3）∵当10＜x≤60时，
y=-0.1x2+9.4x
∴y=-0.1（x-47）2+220.9，
∵a=-0.1＜0，
∴抛物线的开口向下，对称轴是x=47，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴x=47时，利润y有最大值，而超过47时，利润y反而随x的增大而减少．
要想卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大，
∴二次函数性质可知，x≤47，
∴当x=47时，最低售价应定为60-0.1（47-10）=56.3元．