Question

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°（0＜m＜180），得线段PQ．
（1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°．
①探究m与n之间的数量关系；
②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围．（在备用图中探究）

Answer

（1）根据垂直平分线的性质和作法作出AD的垂直平分线即可；
（2）①利用旋转的性质得出PC=PQ，再利用菱形的性质得出∠3=∠PAD，进而求出∠PAD+∠PQD=180°，得出即可；
②利用PQ=QD，得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°，进而利用∠BCD≥∠3≥∠ACD，得出180-2n≥2n≥90-n，求出即可．
【解析】
（1）如图1所示：作AD的垂直平分线，交BC于点P．

（2）①如图2，连接PC．
由PC=PQ，得∠3=∠4．
由菱形ABCD，得∠3=∠PAD．
所以得∠4=∠PAD，
而∠4+∠PQD=180°．
所以∠PAD+∠PQD=180°．
所以m+2n=180．

②解法一：∵PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°．
而点P在线段BO上运动，
∴∠BCD≥∠3≥∠ACD，
∴180-2n≥2n≥90-n，
∴30≤n≤45．
解法二：由PQ=QD，可得∠QPD=∠1，
又∵∠1=∠2，
∴∠QPD=∠2，
∵点P在线段OB上运动，
∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2（或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2）
即（2n≤180-2n≤90+n）
∴30≤n≤45．