Question

如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer

（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；
（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；
（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（-1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．
【解析】
（1）∵直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，
解得：．
∴抛物线解析式为：y=x2+2x-3．

（2）令y=0得：0=x2+2x-3，
解得：x1=1，x2=-3，
则C点坐标为：（-3，0），AC=4，
故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．

（3）抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意：
讨论：
①当MA=AB时，，
解得：，
∴M1（-1，），M2（-1，-）；
②当MB=BA时，，
解得：M3=0，M4=-6，
∴M3（-1，0），M4（-1，-6）（不合题意舍去），
③当MB=MA时，，
解得：m=-1，
∴M5（-1，-1），
答：共存在4个点M1（-1，），M2（-1，-），M3（-1，0），M4（-1，-1）使△ABM为等腰三角形．