Question

如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；
（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF-S扇形ADF，即可求得答案．
（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，
∵⊙A与OM相切与点B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切线；

（2）【解析】
∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=，
∴AF=AF•tan60°=2，
∴S阴影=S△AEF-S扇形ADF=AF•EF-×π×AF2=2-π．