Question

对于函数图象上的点有如下定义：若当自变量x=x时，其函数值y恰好也为x，则点（x，x）为这个函数的和谐点，已知函数，请运用定义进行解答
（1）若有和谐点（4，4），（-2，-2），求a、b的值；
（2）若函数中a=4，且函数有两个关于原点对称的和谐点，则函数与的图象有怎么样的位置关系？
（3）若函数的图象上有两个关于原点对称的和谐点，求a、b应满足的条件．

Answer

（1）把（4，4），（-2，-2）代入函数解析式得到关于a，b的方程组，然后解方程组就可以确定函数的解析式；
（2）根据两点关于原点知道：纵坐标相同，横坐标互为相反数，因而可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于b和x的方程，从而求得b的值，进而确定两个函数的图象的关系；
（3）根据（2）的方法：可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于a，b和x的方程，即可求得a的范围．
【解析】
（1）将（4，4）、（-2，-2）代入y=，得到：
，
解得：；

（2）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，根据题意得：=x，则x2+（b-3）x-4=0…①；
=-x，则x2-（b-3）x-4=0…②．
①-②得：b-3=0．则b=3．
则y===3-，
则函数的图象向下移动3个单位长度即可得到的图象；

（3）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，则=x，即x2+（b-3）x-a=0…③；
=-x，则x2-（b-3）x-a=0…④．
③-④得：b-3=0，则b=3．
③+④得：2x2-2a=0，即a=x2．
又∵x与-x的值不同，则x≠0，因而a＞0；
∵-x+b≠0，
∴a≠9．
故a的范围是：a＞0且a≠9．