Question

探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为______．

Answer

探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；
应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AE，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．
探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，
∵AE⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形AFCE为矩形，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB+∠BAE=90°，
∵∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∵在△AFB和△AED中，
，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF=AE，
∴四边形AFCE为正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100；

应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，
则∠ADF+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF=AE=19，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=BC•AE+CD•AF
=×10×19+×6×19
=95+57
=152．
故答案为：152．