Question

如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．
（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．
（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．
（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．
（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．

Answer

（1）分情况讨论，当点P沿A-D运动时，当点P沿D-A运动时分别可以表示出AP的值；
（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；
（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；
（4）分情况讨论当P在A-D之间或D-A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D-A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．
【解析】
（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．
当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．（2分）

（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．
当点P与点D重合时，AP=AD，8t-8=50，t=．
当0＜t＜1时，如图①．
作过点Q作QE⊥AB于点E．
S△ABQ==，
∴QE===．
∴S=-30t2+30t．
当1＜t≤时，如图②．
S==，
∴S=48t-48；

（3）当点P与点R重合时，
AP=BQ，8t-8=5t，t=．
当0＜t≤1时，如图③．
∵S△BPM=S△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中
，
∴△BPM≌△RQM．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
 当1＜t≤时，如图④．
∵BR平分阴影部分面积，
∴P与点R重合．
∴t=．
当＜t≤时，如图⑤．
∵S△ABR=S△QBR，
∴S△ABR＜S四边形BQPR．
∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．
综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．

（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，
∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，
解得：t=7或t=．
当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．
同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，
∴50-5t+13=8（t-1）-50，
解得：t=．
∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．