Question

如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S_△BEF=3S_△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

Answer

由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；
易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；
易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；
易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF；故①正确；
∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF=FN，
∴BE=BN，
但无法求得△BEN各角的度数，
∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM，
∴BE=3EM，
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；
故④正确．
故选B．