Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．

Answer

（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可．
证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG=DC，
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=AG，DF=DC，
即GE=DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形；

（2）连接DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=CG，
∵G为BC中点，
∴BG=CG=AD，
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°，
∵F为CD中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形．