Question

如图，AB是⊙O的直径，⊙O₁与⊙O内切于点C，且与AB相切于点D，AC交⊙O₁于点E，EF⊥AB于F，交⊙O于点G．
（1）求证：GF是⊙O₁的切线．
（2）若AB=10，AD=AG=8，求⊙O₁的半径和AC的长．

Answer

（1）连接OC，O1E，由于两圆相切，可知O、O1、C在同一直线上，再根据O1E=O1C，可得∠O1EC=∠O1CE，同理∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠O1EC=∠OAC，于是O1E∥AB，而GF⊥AB，可证O1E⊥GF，那么GF是⊙O1的切线；
（2）连接O1D，BC，设⊙O1的半径是r，由于AB是⊙O1的切线，那么O1D⊥AB，根据AB=10，AD=8，可求BD=2，OA=OB=OC=5，在Rt△O1OD中，利用勾股定理可求r=1.6，又∠O1EF=∠EFD=∠FDO1=90°，O1E=O1D，可证四边形EFDO1是正方形，那么EF=DF=r=1.6，可求BD=3.6，于是AF=6.4，则EF：AF=1：4，根据∠EAF=∠BAC，∠AFE=∠ACB=90°，可证△AEF∽△ABC，那么EF：AF=BC：AC，于是BC：AC=1：4，再设BC=x，则AC=4x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求BC，进而可求AC．
【解析】
（1）连接OC，O1E，如右图所示，
∵⊙O和⊙O1相切于C，
∴O、O1、C在同一直线上，
∵O1E=O1C，
∴∠O1EC=∠O1CE，
同理可得∠OAC=∠OCA，
∴∠O1EC=∠OAC，
∴O1E∥AB，
∵GF⊥AB，
∴O1E⊥GF，
∴GF是⊙O1的切线；
（2）连接O1D，BC，如右图，
设⊙O1的半径是r，
∵AB是⊙O1的切线，
∴O1D⊥AB，
∵AB=10，AD=8，
∴BD=2，OA=OB=OC=5，
在Rt△O1OD中，OO12=O1D2+OD2，
∴（5-r）2=r2+（5-2）2，
解得r=1.6，
∵∠O1EF=∠EFD=∠FDO1=90°，O1E=O1D，
∴四边形EFDO1是正方形，
∴EF=DF=r=1.6，
∴BF=3.6，
∴AF=10-3.6=6.4，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠EAF=∠BAC，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：AF=BC：AC，
∴BC：AC=1.6：6.4=1：4，
设BC=x，则AC=4x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
则x2+16x2=102，
解得x=，
故AC=．