Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S_△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明由．

Answer

（1）根据|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，设|OB|=|OC|=5|OA|=5m，可得（m+5m）×5m=15，求出m的值，从而得到A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据二次函数解析式设出函数图象上点的坐标，利用点到直线的距离公式列出关于n的方程，解答即可．
【解析】
（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
∴设|OB|=|OC|=5|OA|=5m，
∵S△ABC=15，
∴（m+5m）×5m=15，
∴m=1，
∴|OB|=|OC|=5，
|OA|=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点A（-1，0）B（5，0）C（0，-5），
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，0）B（5，0）C（0，-5）分别代入解析式得，
，
解得，
∴a=1，b=-4，c=-5，
∴y=x2-4x-5．

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，把（5，0），（0，-5）分别代入解析式得：
，
解得，
则一次函数解析式为y=x-5 即x-y-5=0，
设M的坐标为（n，n2-4n-5），
代入点到直线的距离公式得：=7，
整理得：①n2-5n+14=0，
∵△=25-56=-31＜0，
∴方程无解；
②n2-5n-14=0，
解得：n=-2或n=7．
故M点坐标为（-2，7），（7，16）．