Question

如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t2+t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S△DCA=-（t-2）2+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值；
（3）首先设P（m，-m2+m-2），则m＞1；然后分别从①当时，△APM∽△ACO与②当时，△APM∽△CAO去分析求解即可求得答案．
【解析】
（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx-2，
得，
解得：．
∴该抛物线的解析式为y=-x2+x-2．

（2）存在．
如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t2+t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
设直线AC的解析式为：y=mx+n，
则，
解得：，
由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．
∴E点的坐标为（t，t-2）．
∴DE=-t2+t-2-（t-2）=-t2+2t．
∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×（-t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．
∴当t=2时，S最大=4．
∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

（3）存在．
如图2，设P（m，-m2+m-2），则m＞1．
Ⅰ．当1＜m＜4时，
则AM=4-m，PM=-m2+m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当时，△APM∽△ACO．
∴4-m=2（-m2+m-2），解得m1=2，m2=4（舍去）．
∴P1（2，1）．
②当时，△APM∽△CAO．
∴2（4-m）=-m2+m-2，解得m3=4，m4=5（均不合题意，舍去）．
∴当1＜m＜4时，P1（2，1）．
Ⅱ．当m＞4时，同理可求P2（5，-2）．
综上所述，符合条件的点P为P1（2，1）和P2（5，-2）．