Question

已知直线与x轴y轴分别交于点A和点B，点B的坐标为（0，6）
（1）求的m值和点A的坐标；
（2）在矩形OACB中，某动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线B-C-A运动．运动至点A停止．直线PD⊥AB于点D，与x轴交于点E．设在矩形OACB中直线PD未扫过的面积为S，运动时间为t．
①求s与t的函数关系式；
②⊙Q是△OAB的内切圆，问：t为何值时，PE与⊙Q相交的弦长为2.4？

Answer

（1）直接将（0，6）代入求出即可，进而得出图象与x轴交点坐标；
（2）①利用当PE正好经过点O时，求出BM=•OB=×6=，进而利用当0＜t≤时，当＜t≤8时，当8＜t≤14时分别得出即可；
②首先求出⊙Q的半径为r，进而根据当PE在圆心Q的两侧时，分别求出即可．
【解析】
（1）把（0，6）代入
得：m=6，
则函数的解析式是：y=-x+6，
令y=0，则-x+6=0，
解得：x=8．
则A的坐标是（8，0）；

（2）①如图1，当PE正好经过点O时，
∵AB⊥MO，
∴∠OBD+∠BOM=90°，
∵∠OBD+∠MBD=90°，
∴∠MBD=∠BOM，
∵∠MBD=∠BAO，
∠OBM=∠BOA，
∴△MBO∽△BOA，
∴=，
则BM=•OB=×6=，
四边形OACB的面积是：6×8=48，
当0＜t≤时，BP=t，则BE=t=t，
则s=S四边形OACB-S△BPE=48-t•t=48-t2；
当＜t≤8时，BP=t，PC=8-t，
OE=t-，
∴AE=8-OE=8-（t-）=-t，
则s=[（8-t）+（-t）]•6=-t；
当8＜t≤14时，AP=14-t，PE=（14-t），
s=×（14-t）2=（14-t）2；

②⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r，
∴S△OAB=（6+8+10）r=×6×8，
解得r=2，
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H，
可知，OF=2，
∴BF=BG=OB-OF=6-2=4，
如图2，设直线PD与⊙Q交于点I、J，过Q作QM⊥IJ于点M，连接IQ、QG，
∵QI=2，IM=IJ=1.2，
∴QM==1.6，
∴在矩形GQMD中，GD=QM=1.6，
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6，
由cos∠CBA==，
得BP=BD=7，
∴t=7，
当PE在圆心Q的另一侧时，P′E′∥PE，
∵直线y=-x+6与P′E′垂直，
∴=，
∵BF=4，
∴BP′=3，则t=3，
综上，t为7或3秒时，PE与⊙Q相交的弦长为2.4．