Question

如图，直线x=-4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=-4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

Answer

（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出==，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（-2，0），求出对称轴为直线x=-1，则由B点横坐标为-4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（-4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，将A，C两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
【解析】
（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴==，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（-2，0）；

（2）∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（-2，0），
∴对称轴为直线x==-1，
∵B、C两点关于直线x=-1对称，B点横坐标为-4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2-（-4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（-4，y1），
则16+=36，解得y1=±2（负值舍去）．
将A（-2，0），B（-4，2）代入y=ax2+bx，
得，解得．
∴此抛物线的解析式为y=x2+x；
②当OC=BC时，设C（2，y2），
则4+=36，解得y2=±4（负值舍去）．
将A（-2，0），C（2，4）代入y=ax2+bx，
得，解得．
∴此抛物线的解析式为y=x2+x．
综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y=x2+x或y=x2+x．