Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．
（1）当BE=8时，四边形ABED是______梯形（填直角或等腰），此时梯形的面积是______．
（2）当BE=______时，四边形ABED是矩形，此时矩形的面积是______．
（3）①设BE=x，△BME的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

Answer

（1）当BE=8时，四边形ABED的AD=4，∠DAB=90°，就可以得出四边形ABED是直角梯形，根据梯形的面积公式就可以求出结论；
（2）由四边形ABED是矩形就有AD=BE=4，再由矩形的面积公式就可以求出结论；
（3）①由条件M是线段DE的中点可以知道MG=AB，由三角形的面积公式就可以表示出S与x的函数关系式；
②作MF⊥AB于F，由M是线段DE的中点就可以得出MF是梯形ABED的中位线，就可以表示出MF的值，由三角形的面积公式就可以求出y与x之间的函数关系式．
【解析】
（1）由题意，得
当BE=8时，AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC，
∴AD≠BE，且∠DAB=90°，
∴四边形ABED是直角梯形．
∴S==12．

（2）∵四边形ABED是矩形，
∴AD=BE．
∵AD=4，
∴BE=4．
S=2×4=8．

（3）①作DH⊥BC于H，MG⊥BC与G，
∴DH∥MG，∠DHB=∠DHC=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DHC=90°．
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH=AB=2，
∵M是ED的中点，
∴MG=DH=1．
∴S△BME=BE•GM，
=x，
=x（x＞0）．
∴S与x之间的函数解析式为：S=x（x＞0）；
②作MF⊥AB于F，
∴∠MFB=90°．
∵∠DAB=90°，
∴∠MFB=∠DAB，
∴MF∥BC．
∵M是ED的中点，
∴F是AB的中点，
∴MF是梯形ABED的中位线，
∴MF=（AD+BE），
=×（4+x），
∴y=×2××（4+x），
y=x+2（x＞0）．
∴y与x之间的函数关系式为：y=x+2（x＞0）．
故答案为：直角，12；4，8．