Question

已知抛物线（k是实数）与x轴有交点，将此抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到新的抛物线E，设抛物线E与x轴的交点为B，C，如图．
（1）求抛物线E所对应的函数关系式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过点C，得到直线l，点P是l上一动点（与点C不重合）．设以点A，B，C，P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤16时，求t的取值范围；
（3）点Q是直线l上的另一个动点，以点Q为圆心，R为半径作圆Q，当R取何值时，圆Q与直线AB相切？相交？相离？直接给出结果．

Answer

（1）首先根据抛物线与x轴有交点，则判别式△≥0，据此即可求得k的值，函数的解析式即可求得，然后根据将此抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到新的抛物线E，即可求得E的解析式以及顶点坐标；
（2）首先求得B、C的坐标，然后利用待定系数法即可求得AB，l的解析式，分P在x轴下方和上方，两种情况利用P的横坐标t表示出四边形的面积，再根据0＜S≤16即可得到关于t的不等式，求得t的范围；
（3）过点C作CH⊥AB，H为垂足，利用三角形的面积公式求得CH的长，然后利用直线与圆的位置关系的判定方法，即可写出结果．
【解析】
（1）抛物线y=-x2+2kx-k2+2k-2（k是实数）与x轴有交点，
则判别式△=（2k）2+4（-k2+2k-2）=-（k-2）2≥0，
则k=2，
因而抛物线的解析式是：y=-x2+4x-4，
将此抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线是：y=-（x+1）2+4（x+1）-4+4，
即：y=-x2+2x+3
即y=-（x-1）2+4，
∴顶点A坐标为（1，4）；

（2）令y=0，得-x2+2x+3=0所以B（-1，0），C（3，0）
设直线AB的函数关系式为y=kx+b、
∵A（0，4），B（-1，0）∴解得，
∴y=2x+2
∵直线l∥AB且过点C（3，0），∴直线l的函数关系式为y=2x-6，
∵点P是l上一动点且横坐标为t，∴点P坐标为（t，2t-6）
当P在x轴下方时（t＜3），S=S△ABC+S△BCP=×4×4+×4×|2t-6|=20-4t．
∵0＜S≤16，∴0＜20-4t≤16，∴1≤t＜5、又t＜3，∴1≤t＜3
当P在x轴上方时（t＞3），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N． 则
S=S梯形ANMP+S△ANB+S△PMC
=[4+（2t-6）]•（t-1）+2×4-（t-3）（2t-6）
=4t-4
另法：∵直线l∥AB，根据等底等高的面积相等进行转化
S=S△ABC+S△APC=S△ABC+S△BPC=S△ABC+S△PBC=×4×4+×4×（2t-6）=4t-4
∵0＜S≤16，∴0＜4t-4≤16，
∴1＜t≤5．
又∵t＞3，
∴3＜t≤5．
∴t的取值范围是1≤t＜3或3＜t≤5；

（3）AB=2，过点C作CH⊥AB，H为垂足，S△ABC=×4×4=×AB×CH
所以CH=，
因为平行线间距离处处相等，所以点Q到直线AB的距离等于，
所以当R=时相切，R时相交，R＜时相离．