Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E，F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：
①当四边形A′CDF为正方形时，EF=；
②当EF=时，四边形A′CDF为正方形；
③当EF=时，四边形BA′CD为等腰梯形；
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF=．
其中正确的是    （把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer

①根据正方形的性质和矩形的性质判定“A'F刚好是矩形ABCD的中位线点E和点B重合，EF即正方形ABA'F的对角线”，所以在直角△AEF中，由勾股定理可以求得EF=；
②根据①中的EF=可以推知，当EF沿着BC边平移时，EF的长度不变，但是四边形A′CDF不是正方形；
③根据勾股定理求得BD=，所以由已知条件可以推知EF与对角线BD重合．由折叠的性质、矩形的性质易证四边形BA′CD为等腰梯形；
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF与对角线BD重合，即EF=．
【解析】
∵在矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，
∴BC=2AB．
①如图①．∵A'CDF为正方形，说明A'F刚好是矩形ABCD的中位线，
∴AF=BA'=1，即点E和点B重合，EF即正方形ABA'F的对角线．
EF=AB=．
故①正确；．

②如图①，由①知四边形A′CDF为正方形时，EF=，此时点E与点B重合．
EF可以沿着BC边平移，当点E与点B不重合时，四边形A′CDF就不是正方形．
故②错误；

③如图②，∵BD===，EF=，
∴BD=EF，
∴EF与对角线BD重合．
易证BA'CD是等腰梯形．
故③正确；

④BA'CD为等腰梯形，只能是BA'=CD，EF与BD重合，所以EF=．
故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故填：①③④．