Question

某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．

销售量p（件）	p=50-x
销售单价q（元/件）	当1≤x≤20时，q=30+x 当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

Answer

（1）在每个x的取值范围内，令q=35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润=售价-成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式；
（3）当1≤x≤20时，y=-x2+15x+500=-（x-15）2+612.5，求出一个最大值y1，当21≤x≤40时，求出一个最大值y2，然后比较两者的大小．
【解析】
（1）当1≤x≤20时，令30+x=35，得x=10，
当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35，经检验得x=35是原方程的解且符合题意
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．

（2）当1≤x≤20时，y=（30+x-20）（50-x）=-x2+15x+500，
当21≤x≤40时，y=（20+-20）（50-x）=-525，
即y=，

（3）当1≤x≤20时，y=-x2+15x+500=-（x-15）2+612.5，
∵-＜0，
∴当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5，
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴随x的增大而减小，
当x=21时，最大，
于是，x=21时，y=-525有最大值y2，且y2=-525=725，
∵y1＜y2，
∴这40天中第21天时该网站获得利润最大，最大利润为725元．