Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．
（1）填空：D点坐标是（______，______），E点坐标是（______，______）；
（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．

Answer

（1）根据△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据DE=OD=2，求出E点的坐标；
（2）由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=4，再根据直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，设MN的解析式为y=x+b，根据DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），CM=，CN=6+b，MN=4，①当CM=CN时，42+（2+b）2=（6+b）2，解得：b=-2，此时M（2，0）；②当CM=MN时，42+（2+b）2=（4）2，解得：b1=2，b1=-6（不合题意舍去），此时M（2，4）；③当CM=MN时，6+b=4，解得：b=4-6，此时M（2，4-4）；
（3）根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据①当0≤x≤2时，S=x2-8x+12=（x-4）2-4，②当2＜x≤6时，S=-x2+8x-12=-（x-4）2+4，即可得出答案．
【解析】
（1）∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
∴OA=OD，
∵OA=2，
∴OD=2，
∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2，
∴E点坐标是（2，2），
故答案为：（2，0），（2，2）；

（2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四边形AODE为正方形，
过M作MH⊥BC于H，
∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°，
NH=MH=4，MN=4，
∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，
∴设MN的解析式为y=x+b，
而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，
∴M（2，2+b），N（6，6+b），
CM=，CN=6+b，MN=4，
分三种情况讨论：
①当CM=CN时，
42+（2+b）2=（6+b）2，
解得：b=-2，此时M（2，0）；
②当CM=MN时，
42+（2+b）2=（4）2，
解得：b1=2，b1=-6（不合题意舍去），
此时M（2，4）；
③当CN=MN时，
6+b=4，
解得：b=4-6，此时M（2，4-4）；
综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：
（2，0），（2，4），（2，4-4）；

（3）根据题意得：
当0≤x≤2时，
∵∠BPN+∠DPE=90°，
∠BPN+∠EPD=90°，
∴∠DPE=∠EPD，
∴△PBN∽△DEP，
∴=，
∴=，
∴BN=，
∴S△DBN=•BN•BE
=•4
整理得：S=x2-8x+12；
当2＜x≤6时，
∵△PBN∽△DEP，
∴=，
∴=，
∴BN=，
∴S△DBN=•BN•BE，
=•×4，
整理得：S=-x2+8x-12；
则S与x之间的函数关系式：，
①当0≤x≤2时，S=x2-8x+12=（x-4）2-4，
当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2，
②当2＜x≤6时，S=-x2+8x-12=-（x-4）2+4，
当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6，
综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6．