Question

如图，在梯形ABCD中，AB=2，AD=4，BC=6，将梯形折叠，使B落在边AD上，落点记为E，这时折痕与边BC（含端点）交于F，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为梯形ABCD的“折痕三角形”．
（1）在梯形ABCD，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，直接写出点F的坐标；
（2）在梯形ABCD中是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？

Answer

（1）当点E在AD的中点时求出E点坐标，再根据连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．根据折痕垂直平分BE，AB=AE=2，故可得出点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A，所以四边形ABFE为正方形，由正方形的性质即可得出结论；
（2）由于△EOF的高是定值，所有OF越长折痕△BEF的面积越大，所以当点F与点C重合时△BEF的面积最大；设E（x，2），则M（，1），由折叠的性质可知直线MF是线段BE的垂直平分线，故两直线斜率的积等于-1，由此即可得出x的值，进而得出E点坐标．
【解析】
（1）如图1所示，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．
∴四边形ABFE为正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．

（2）存在．
∵△BEF的高是定值，
∴OF越长折痕△BEF的面积越大，
∴当点F与点C重合时△BEF的面积最大，
∴S△BEF=OB×OC=×6×2=6．
如图2所示：
设E（x，2），则M（，1）
∵MF是线段BE的垂直平分线，F（0，6），
∵互为垂直的两条直线的斜率的积等于-1，E（x，2），O（0，0），M（，1），F（6，0）
∴•=-1，解得x=6-4或x=6+4（舍去），
∴E（6-4，1）．