Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=，AD=，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A（如图），斜边与CD交于点F，设BE=x，CF=y
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求y关于x的函数解析式，并求出当点E移动到什么位置时y的值最大，最大值是多少？
（3）连接AF，当△AEF为直角三角形时，求x的值；
（4）求点E移动过程中，△ADF外接圆半径的最小值．

Answer

（1）由题意易证∠1=∠3，从而得出△ABE∽△ECF；
（2）由相似得出比例式，即可得出y是x的二次函数，求出y的最大值即可；
（3）分两种情况①∠EAF=90°时，②∠EFA=90°时，得出x的值；
（4）设△ADF外接圆半径为r，作FH⊥AD于H，由勾股定理可求出r的最小值．
【解析】
（1）∵∠AEF=∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∴△ABE∽△ECF；

（2）AB=（-）÷2×=3，
由（1）得，=，即=，
∴y=x（4-x）=-x2+x（0＜x＜4），
当x=2即E为BC的中点时，ymax=；

（3）（i）如图i．当∠EAF=90°时，EF=AE，
∴EC=AB，即4-x=×3，
∴x=；
（ii）如图ii：∠EFA=90°时，∴AE=EF，
∴AB=EC，即3=（4-x），
∴x=

（4）设△ADF外接圆的圆心为O，其半径为r．
∵∠ADF=135°，
∴劣弧AF所对圆周角为45°
∴劣弧AF所对圆心角∠AOF=90°，
∴AF=r，
当AF最小时，r也最小；
又∵当CF最大时，AF最小，
此时DF=DC-CF=3-=，
作FH⊥AD于H，则FH=DH=，
∴AFmin===，
∴rmin=．