Question

如图，在⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=a（x-2）²+m（a≠0）经过点A（4，0）与点（-2，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动，同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长．当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．

Answer

（1）利用待定系数法求二次函数解析式解析式即可；
（2）连接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，进而求出OD，OF的长，进而利用勾股定理得出DF的长．
【解析】
（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y=a（x-2）2+m中，得方程组，

解得，
故抛物线的解析式为y=x2-2x．

（2）如图所示，连接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，
∵直线m切⊙C于点A，
∴AC⊥m．
∵弦AB=AO，
∴=．
∴AC⊥OB，
∴m∥OB．
∴∠OAD=∠AOB．
∵OA=4，tan∠AOB=，
∴OD=OA•tan∠OAD=4×=3．
则OF=OA•sin∠OAD=4×=2.4．
t秒时，OP=t，DQ=2t，
若PQ⊥AD，则 FQ=OP=t．DF=DQ-FQ=t．
∴△ODF中，t=DF==1.8（秒）．