Question

在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在第二象限，，cot∠AOB=3（如图），一个二次函数y=ax²+b的图象经过点A、B．
（1）试确定点B的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）设这个二次函数图象的顶点为C，△ABO绕着点O按顺时针方向旋转，点B落在y轴的正半轴上的点D，点A落在点E上，试求sin∠ECD的值．

Answer

（1）过点B作BH⊥AO，垂足为H，在Rt△BHO中，，设HB=x，则OH=3x，由勾股定理求得x，从而确定点B的坐标；
（2）由二次函数y=ax2+b的图象经过点A、B，得方程组，求出这个二次函数的解析式；
（3）根据题意，得∠AOB=∠EOC，点E在第二象限，过点E作EG⊥CO，垂足为G，确定点C、E的坐标，再再由勾股定理求出CE，从而得出求sin∠ECD的值．
【解析】
（1）过点B作BH⊥AO，垂足为H，
在Rt△BHO中，，
设HB=x，则OH=3x，
∵，OH2+HB2=OB2，
∴，
∴x=1，
∴HB=1，OH=3，（2分）
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标是（-3，1）；（1分）

（2）由二次函数y=ax2+b的图象经过点A、B，点A的坐标为，
∴，（1分）
解此方程，得：，（2分）
∴这个二次函数的解析式是y=-x2+10；（1分）

（3）根据题意，得：∠AOB=∠EOC，点E在第二象限，
过点E作EG⊥CO，垂足为G，
与（1）的解法一样可得：点E的坐标是（-1，3），
∴EG=1，OG=3（1分），
由（2），得：这个二次函数y=-x2+10的图象的顶点是C（0，10），
∴OC=10，
∴CG=OC-OG=7，（1分）
在Rt△CGE中，CG2+EG2=CE2，
∴（1分），
sin∠ECD===（1分）．