Question

如图，反比例函数（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．

Answer

（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得．
【解析】
（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，∴=，
∴AB=3，∴A点的坐标为（2，3）…（1分）
∴k=xy=6…（2分）
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，
∴点E的纵坐标为，…（3分）
又∵点E在双曲线上，∴点E的坐标为（4，）…（4分）
设直线MN的函数表达式为y=k1x+b，则，解得，∴直线MN的函数表达式为．…（5分）

（3）结论：AN=ME…（6分）
理由：在表达式中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=，
∴点M（6，0），N（0，）…（7分）
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=，
∴根据勾股定理可得AN=…（8分）
∵CM=6-4=2，EC=
∴根据勾股定理可得EM=
∴AN=ME…（9分）
解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵S△EOM=，S△AON=…（8分）
∴S△EOM=S△AON，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME…（9分）