Question

如图，抛物线y=-x²+c与x轴分别交于点A、B，直线y=-x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=-x²+c相交于点C．
（1）求抛物线y=-x²+c的解析式；
（2）直接写出点C的坐标；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

Answer

（1）求出点B的坐标，代入抛物线解析式可求出c的值，继而得出抛物线的解析式；
（2）联立抛物线与直线解析式可求出交点坐标；
（3）求出sin∠EBO，过点N作NF⊥x轴于点F，继而可表示出NF，根据S△MNB=BM×NF，可求出S与t的函数关系式，利用配方法可求出最大值．
【解析】
（1）∵直线y=-x+过点B，
∴点B的坐标为（2，0），
将点B的坐标代入抛物线解析式可得：0=-×22+c，
解得：c=3；
（2）联立抛物线及直线解析式可得：，
解得：或，
故点C的坐标为（-1，）．
（3）由直线解析式可得点E坐标为（0，），
在Rt△BOE中，BE==，
则sin∠EBO==，
过点N作NF⊥x轴于点F，
设点M的运动时间为t秒，则AM=t，BN=2t，
则BM=4-t，NF=BN×sin∠EBO=t，
S△MNB=BM×NF=（4-t）×t=-t2+t=-（t-2）2+（0＜t＜4），
故当t=2时，S取得最大，最大值为．
综上可得：S=-t2+t，当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是．