Question

在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：ME=MF；
（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；
（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=______

Answer

（1）根据ABCD是矩形，得出∠EAM=∠FDM=90°，根据AM=DM，∠AME=∠FMD证出△AEM≌△DFM，即可得出ME=FM；
（2）过点G作GH⊥AD于H，则AB=GH，根据△GEF是等腰直角三角形，得出ME=FM，GM⊥EF，根据∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，得出∠MGE=∠MEG=45°，ME=MG，再根据∠AME+∠AEM=90°，得出∠AEM=∠GMH从而证出△AEM≌△HMG，得出GH=AM=2，求出AB=2；
（3）过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，连接MG，则∠GHM=∠A，根据△GEF是等边三角形，得出EM=FM，GM⊥EF，=cot60°=，∠AME+∠GMH=90°，根据∠AME+∠AEM=90°，得出∠GMH=∠AEM，证出△AEM∽△HMG，==，得出HG=AM=2，最后根据AB=HG即可求出答案．
【解析】
（1）如图1，
∵ABCD是矩形，
∴∠EAM=∠FDM=90°，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵在△AEM和△DFM中，
，
∴△AEM≌△DFM（ASA），
∴ME=FM．

（2）如图2：
过点G作GH⊥AD于H，则AB=GH，
∵△GEF是等腰直角三角形，ME=FM，
∴GM⊥EF，
∴∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，
∴∠MGE=∠MEG=45°，
∴ME=MG，
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠AEM=∠GMH，
∵在△AEM和△HMG中，
，
∴△AEM≌△HMG（AAS），
∴GH=AM=2，
∴AB=2．

（3）如图3：
过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，连接MG，则∠GHM=∠A，
∵△GEF是等边三角形，EM=FM，
∴GM⊥EF，
∴=cot60°=，
∠AME+∠GMH=90°，
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠GMH=∠AEM，
∴△AEM∽△HMG，
∴==，
∴HG=AM=2，
∴AB=HG=2．
故答案为：2．