Question

如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，点M从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点N从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（点M、N分别到达B、C两点停止移动）．
（1）设开始运动后第t秒钟时，△MBN的面积为Scm²，写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（2）t为何值时，S最大，求出S的最大值；
（3）在运动过程中，判断t为何值时，MN⊥BD；并说明理由．

Answer

（1）根据三角形的面积公式得到S=BM•BN，所以把相关数据代入即可求得S与t的函数关系式；
（2）根据（1）中二次函数的解析式来求最值；
（3）假设MN⊥BD，则由此推知Rt△MBN∽Rt△BCD，所以根据该相似三角形的对应边成比例可以求得=，即=，解得t=2．
【解析】
（1）根据题意知，BM=AB-AM=10-t，BN=2t，则S=BM•BN=×（10-t）×2t=-t2+10t，即S=-t2+10t，0＜t＜10；

（2）当t=-=5时，S最大．S最大=-52+10×5=25；

（3）当t=2时，MN⊥BD．理由如下：
假设MN⊥BD
则∠BMN+∠DBM=90°
∵∠DBC+∠DBM=90°
∴∠BMN=∠DBC
∴Rt△MBN∽Rt△BCD
∴=
∴=，
解之得，t=2
∴当t=2时，MN⊥BD．