Question

已知，抛物线y=-x²+bx+c，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线y=kx+b（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式．
（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G．
①求t的取值范围
②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将（1，0）和（5，0）代入函数关系式，求出b，c的值即可；
（2）图象过A（，m）和B（4，n）两点代入（1）中所求求出A，B的坐标即可，进而求出直线的解析式；
（3）①根据t＞，t+2＜4进而求出t的取值范围即可；
②首先表示出E，F，G，H各点的坐标，进而根据平行四边形的性质求出t的值即可．
【解析】
（1）根据题意，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点为（1，0）和（5，0），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5；

（2）∵y=-x2+6x-5的图象过A（，m）和B（4，n）两点，
∴m=，n=3，∴A（，）和B（4，3），
∵直线y=kx+b（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点
∴，
解得．
∴直线的解析式为y=x+1；

（3）①根据题意，
解得≤t≤2，
②根据题意E（t，t+1），F（t+2，t+2）
H（t，-t2+6t-5），G（t+2，-t2+2t+3），
∴EH=-t2+t-6，FG═-t2+t+1，
若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即-t2+t-6=-t2+t+1，
解得：t=，
∵t=满足≤t≤2．
∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形．