Question

某工厂A车间接到生产一批自行车的订单，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每辆自行车的成本价为800元．该车间平时每天能生产自行车20辆．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆．由于机器损耗等原因，当每天生产的自行车达到30辆后，每增加1辆自行车，当天生产的所有自行车平均每辆的成本就增加20元．设生产这批自行车的时间为x天，每天生产的自行车为y辆．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若这批自行车的订购价格为每辆1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？

Answer

（1）根据该车间平时每天能生产自行车20辆，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆，直接得出生产这批自行车的时间为x天，与每天生产的自行车为y辆之间的函数关系式；
（2）根据基本等量关系是：利润=（每辆自行车购价-每辆自行车成本价-增加的其他费用）×生产量即可得出答案．
【解析】
（1）∵该车间平时每天能生产自行车20辆，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆，
∴由题意可得出，生产这批自行车的时间为x天，每天生产的自行车为y辆之间的函数关系式为：y=2x+20（1≤x≤12）；

（2）当1≤x≤5时，W=（1200-800）×（2x+20）=800x+8000，
此时W随着x的增大而增大，
∴当x=5时，W最大值=12000；
当5＜x≤12时，
W=[1200-800-20×（2x+20-30）]×（2x+20）
=-80（x-2.5）2+12500，
此时函数图象开口向下，在对称右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整数，
∴当x=6时，W最大值=11520元．
∵12000＞11520，
∴当x=5时，W最大，且W最大值=12000元．
综上所述：
W=．
∴该车间捐献给灾区12000元．