Question

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x²沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x=3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．
（1）抛物线解析式；
（2）求△ABC面积；
（3）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

Answer

（1）根据题意可知平移的规律可得函数的解析式为：y=2（x-2）2+1；
（2）有（1）求出其顶点A和B点的坐标，然后用待定系数法求出直线AO的解析式，即可求出C点的坐标，根据这三点的坐标即可求出△ABC的面积；
（3）由于不确定是哪组角对应相等，因此要分两种情况进行讨论：
①当∠PBA=∠CBA时，四边形PACB是平行四边形，因此PA=BC，由此可求出P点的坐标．
②当∠APB=∠BAC时，可根据关于AP，AB，BC的比例关系式，求出AP的长，进而可求出P的坐标．
综上所述即可求出符合条件的P点的坐标．
【解析】
（1）将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位，则y=2x2+1，
再沿x轴向右平移两个单位后y=2（x-2）2+1，
所以平移后抛物线的解析式为y=2（x-2）2+1；

（2）∵平移后抛物线的解析式为y=2（x-2）2+1．
∴A点坐标为（2，1），
设直线OA解析式为y=kx，将A（2，1）代入
得k=，
∴直线OA解析式为y=x，
将x=3代入y=x得；y=，
∴C点坐标为（3，），
将x=3代入y=2（x-2）2+1得y=3，
∴B点坐标为（3，3）．
∴S△ABC；

（3）∵PA∥BC，
∴∠PAB=∠ABC
①当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，
∴四边形PACB是平行四边形，
∴PA=BC=，
∴P1（2，），
②当∠APB=∠BAC时，，
∴AP=，
又∵AB==，
∴AP=，
∴P2（2，1+）即P2（2，）．
综上所述满足条件的P点有（2，），（2，）．