Question

为喜迎“五一”佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本20元，在“五一”节前20天进行销售后发现，该礼盒在这20天内的日销售量p（盒）与时间x（天）的关系如下表：

时间x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第…天
日销售量p（盒）	78	76	74	72	70	…

在这20天内，前10天每天的销售价格y₁（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为y₁=x+25（1≤x≤10，且x为整数），后10天每天的销售价格y₂（元/盒）与时间x（天）的函数关系式为y₂=-x+40（11≤x≤20，且x为整数），
（1）直接写出日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）请求出这20天中哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“五一”当天，销售价格（元/盒）比第20天的销售价格降低a元（a＞0），而日销售量比第20天提高了a盒，日销售额比前20天中的最大日销售利润多284元，求a的值．
注：销售利润=（售价-成本价）×销售量．

Answer

（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p=kx+b，把（1，78），（2，76）代入求出即可；
（2）求出当1≤x≤10时w=（-2x+80）（x+25-20），求出当11≤x≤20 时w=（-2x+80）（-x+40-20），求出最值比较即可；
（3）求出当x=20时销售价格y2=-x+40=30，日销量p=-2x+80=40，得出方程（30-a）（40+a）=841+284，求出方程的解即可．
【解析】
（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p=kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：，
k=-2，b=80，
即日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p=-2x+80．

（2）设日销售利润为w元，
当1≤x≤10时，w=（-2x+80）（x+25-20）=-（x-10）2+450；
当11≤x≤20 时，w=（-2x+80）（-x+40-20）=（x-40）2，
∵w=-（x-10）2+450（1≤x≤10）的对称轴为x=10，
∴当x=10时，w取得最大值，最大值是450；
∵w=（x-40）2（11≤x≤20）的对称轴为x=40，且当11≤x≤20时w随x的增大而减小，
∴当x=11时，w取得最大值，最大值是841；
综合上述：当x=11时，利润最大，最大值是841元，
即第11天的利润最大，最大值是841元．

（3）当x=20时，销售价格y2=-x+40=30，
日销量p=-2x+80=40，
则（30-a）（40+a）=841+284，
整理得：a2+10a-75=0
解得：a=5或a=-15（不合题意，舍去），
即a=5．